Родом из семьи колхозников, Анатолий с детства мечтал о небе. В 1956 году он поступил
в Качинское высшее военное авиационное училище летчиков. После окончания училища служил в ВВС, а в 1963 году был зачислен в Центр подготовки испытателей в Ахтубинске.
В 1965 году Квочур получил назначение в ЛИИ им. М.М. Громова на должность летчика-испытателя. И здесь он начал свой триумфальный путь. Его талант и мастерство были неоспоримы, а техника пилотирования вызывала восхищение коллег.
Квочур испытывал истребители МиГ, бомбардировщики Су, транспортные самолеты Ил и Ан. Он первым поднял в небо новейшие модели техники, в том числе знаменитые МиГ-29 и Су-27.Квочур был не только выдающимся пилотом, но и талантливым педагогом. Он охотно делился своим опытом с молодыми летчиками, воспитал целую плеяду высококлассных испытателей.
Но, пожалуй, самым выдающимся достижением Квочура было то, что за всю свою долгую карьеру он не совершил ни одной аварии. Это невероятное достижение, которое говорит о его высочайшем профессионализме и редком самообладании.